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2013年4月 7日 (日)

正六面体群について

昨日の記事のようにGAPで正六面体群を構成した上で、共役類を表示させると、次のようになります。

gap> a:=(1,2,4,3)(5,6,8,7);

(1,2,4,3)(5,6,8,7)

gap> b:=(1,2,6,5)(3,4,8,7);

(1,2,6,5)(3,4,8,7)

gap> g:=Group(a,b);

Group([ (1,2,4,3)(5,6,8,7), (1,2,6,5)(3,4,8,7) ])

gap> ConjugacyClasses(g);

[ ()^G, (2,3,5)(4,7,6)^G, (1,2)(3,6)(4,5)(7,8)^G, (1,2,4,3)(5,6,8,7)^G, (1,4)(2,3)(5,8)(6,7)^G ]

gap>

5つの共役類の代表元が出ていますが、前から単位元、対角線(頂点1,8を結ぶもの)の周りの120度回転、辺1,2の中点と辺7,8の中点を結ぶ線を軸とした180度回転、面1,2,4,3の90度回転、同じ面の180度回転であると解釈していいようです。

ところが同じことを、四次元の正八胞体でやってみると、意外なことに気づきます。実は前に書いたことのあることなのですが。

まだ続きます。

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