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2013年4月 9日 (火)

正八胞体群について (2)

ところで、前回示した共役類の代表元のうち、

  (1,2,4,8,16,15,13,9)(3,6,12,7,14,11,5,10)

(1,2,4,8,16...)

の部分を見ると、1という番号が付けられた頂点がこの回転によって移動していく先は、常に1本の辺をはさんで隣り合った頂点のように見えます。この頂点の番号についてははっきり書きませんでしたが

1 (0,0,0,0)

2 (1,0,0,0)

3 (0,1,0,0)

4 (1,1,0,0)

のように考えてもらえればよいでしょう。つまり、この回転では

1 (0,0,0,0) -> 2 (1,0,0,0) -> 4 (1,1,0,0) -> 8 (1,1,1,0) -> ....

のように移動していくことになります。

ただこれだと、回転によって写り合う頂点はどう見ても1平面上には乗っていません。不思議な気がしますが、これには、四次元より高い次元での回転の性質が関係しています(というか、二次元と三次元の方が特殊)。

この話題、どこまで続くんだろう。

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