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2013年4月 8日 (月)

正八胞体群について (1)

前の記事の正六面体の構成でやったことを、四次元の正八胞体でやってみると、このようになります。

gap> a:=(1,2,4,3)(5,6,8,7)(9,10,12,11)(13,14,16,15);

(1,2,4,3)(5,6,8,7)(9,10,12,11)(13,14,16,15)

gap> b:=(1,2,6,5)(3,4,8,7)(9,10,14,13)(11,12,16,15);

(1,2,6,5)(3,4,8,7)(9,10,14,13)(11,12,16,15)

gap> c:=(1,2,10,9)(3,4,12,11)(5,6,14,13)(7,8,16,15);

(1,2,10,9)(3,4,12,11)(5,6,14,13)(7,8,16,15)

gap> g:=Group(a,b,c);

Group([ (1,2,4,3)(5,6,8,7)(9,10,12,11)(13,14,16,15), (1,2,6,5)(3,4,8,7)(9,10,14,13)(11,12,16,15),
  (1,2,10,9)(3,4,12,11)(5,6,14,13)(7,8,16,15) ])

gap> Size(g);

192

gap> StructureDescription(g);

"(((C2 x D8) : C2) : C3) : C2"

gap> ConjugacyClasses(g);

[ ()^G, (3,5,9)(4,6,10)(7,13,11)(8,14,12)^G, (2,3)(5,9)(6,11)(7,10)(8,12)(14,15)^G,
  (1,2)(3,4)(5,10)(6,9)(7,12)(8,11)(13,14)(15,16)^G, (1,2,4,3)(5,6,8,7)(9,10,12,11)(13,14,16,15)^G,
  (1,2,4,8,16,15,13,9)(3,6,12,7,14,11,5,10)^G, (1,2,4,12,16,15,13,5)(3,10,8,11,14,7,9,6)^G,
  (1,4)(2,3)(5,8)(6,7)(9,12)(10,11)(13,16)(14,15)^G, (1,4,7,16,13,10)(2,3,8,15,14,9)(5,12)(6,11)^G,
  (1,4,16,13)(2,8,15,9)(3,12,14,5)(6,7,11,10)^G, (1,4,16,13)(2,12,15,5)(3,8,14,9)(6,10,11,7)^G,
  (1,8,13,12)(2,7,14,11)(3,6,15,10)(4,5,16,9)^G, (1,16)(2,15)(3,14)(4,13)(5,12)(6,11)(7,10)(8,9)^G ]

gap>

いろいろややこしくなりましたが、私が意外だと思ったのは、共役類に位数8のものがあることです。位数2、3、4のものは正六面体の場合と同じで、直感的にわかりやすいですし、位数6のものも何となくわかるのですが、位数8というのは普通は45度とか135度回転に関連しているわけで、90度回転の組み合わせでこのようなものが出てくるのは不思議です。

この点を理解するために、別の構成法を使ってみます。

まだまだ続きます。

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