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2009年7月18日 (土)

Lie型の群(7)

昨日、暑さでぼんやりしていたせいか、操作ミスで、Windowsの起動ディスクの内容をバッサリと消してしまいました。

おかげで、Windows 7を待たずに、Vistaの再インストールをする羽目になりました。

ただ、なぜか、動作がもたついていたMS Wordの動作がスムースになりました。怪我の功名というべきでしょうか。

さて話の続きですが、Lie代数の基底を取り直し、Chevalley底と呼ばれるものにします。これには、基底相互のLie積が、他の基底の整数倍、およびそれらを加えたものになるという面白い性質があります。

さて、このChevalley底を基に、Lie代数の随伴表現を作ります。そうするとなお都合のよいことに、この随伴表現は何乗かすると必ず0になります。つまりexpAを展開すると、有限項で切れることが保証されます(実際には高々3次までのようです)。

さらに、そのべき乗の中に出てくる係数は、2次だと2、3次だと6で割り切れるものになるので、expAの係数も必ず整数になります。

それで、これを使うわけです(もうちょっとだけ続く)。

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