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2009年7月 3日 (金)

有限群の図形的な表現(2)

あと、わかりやすいものとしては、対称群Snと交代群Anがあります。もっとも、わかりやすいと言っても、n個の点がすべて相互に等距離に配置された図形を考えることになり、次元の高いユークリッド空間 (n-1次元とか) でないと収まらないので、ちょっと想像しにくいかもしれません。

ともかく、A4は正4面体の回転操作、S4はそれに鏡映操作を加えたものとして表現することができます。

さらに、A5については、正12面体の回転操作として理解することができます。ただ、どのような対応関係になっているのかは多少わかりにくくなっています。

ところで、話は変わります。Q8はC4とC2の単なる直積や半直積になっているわけではないので、もしかしたら分解しない拡大の小さな位数での例になっているのではと気がつき、乗積表をチェックしてみたところ、確かにそう解釈できそうだと思えてきました。このことを、因子団も含めてわかりやすく例証する方法がないか、考えているところです。

でもこれ、私が気がつかなかっただけで、自明なことだったんでしょうか。

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