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2009年7月26日 (日)

指標表から有限群を構成してみる(2)

さて、昨日の方針に従って

a:=[[0,-1],[1,0]];
b:=[[0,E(4)],[E(4),0]];
c:=[[0,1],[1,0]];

というふうにいくつか生成元を取り、

g:=Group(a,b,c)

としてみると、位数16にしかなりません((C4 x C2) : C2)。

これ以上当てはまりそうな生成元を増やしてみても、どれもこの群に含まれてしまい、これ以上位数は大きくなりません。

ここで最後の行の表現をよく見ると、単位元以外のところに2が出てきています。この最後の行の表現は忠実ではないわけです。

それで他の既約表現を取ってきて、それとの直和で構成することを考えます。下から2番目の行は最後の行と実質的に同じ表現なので、下から3番目の行を使うことにします。ここで出てくるのはやはり2とか-2とかAなので、前と同じような同じ2行2列の行列を当てはめてみて、前に作った表現との直和を取ってみると、正しく構成できる組み合わせが見つかりました。

最後にこれを、置換表現に置き換えることを考えてみるわけです。

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