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2009年7月25日 (土)

指標表から有限群を構成してみる(1)

久しぶりに有限群の話です。

位数32のうち、ひとつだけ構成できずに残っていたのが(C2 x C2).(C2 x C2 x C2)だったのですが、実は、GAPは群としてのそのデータを持っているということに気付きました。指標表を表示できるからです。

ll:=AllSmallGroups(32);

とすると、位数32のすべての群のリストを取得できます。

List(ll, StructureDescription);

とすると、具体的な表示になります。数えてみると、(C2 x C2).(C2 x C2 x C2)は32番目にあるようなので、

g:=ll[32];
StructureDescription(g);

とすると、確かにそうであることが分かります。

ct:=CharacterTable(g);
Displya(ct);

で指標表が表示できるわけですが、これから、生成元を置換として求めてみようというわけです。

指標表が示しているのは行列表現のトレースなので、まずは行列表現として求めてみることを考えます。通常、下に行くほど情報が多いので、一番下の表現の列を見てみると、指標として2, -2, Aなどがあります。Aはここでは-2iということになっています。

その左端は必ず単位元の表現で、その指標が2になっているということは、この行は2次元表現です。そうすると、指標が-2なら、

[[-1,0],[0,-1]]

-2iなら、

[[-i,0],[0,-i]]

ということになります。ピリオドになっているところは指標が0というわけですから、位数が2なら、

[[1,0],[0,-1]],[[0,1],[1,0]], [[0,i],[-i,0]]

など、位数が4なら

[[0,1],[-1,0]], [[0,i],[i,0]], [[i,0],[0,-i]]

などがあり得ます。これを、指標表の上の、べき乗がどの共役類に移るかを示す行の表示と比べ合わせて、矛盾のない仕方で組み合わせることにより、行列表現を構成しようというわけです(続く)。

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