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2009年6月24日 (水)

最短の置換表現について考える(5)

ある見落としに気づいて直したところ、SL(2,3)はますます短くなりました。さすがにこれ以上はないと思いますが。

さて、有限群の構造を判定して、いくつかの群の直積であることがわかったとします。このときそれぞれの直積成分は巡回群、半直積の群、分解しない拡大の群、または何かの単純群になるでしょう(これ以外の場合は何かあるかな)。

さて、このうち、巡回群については前に書きました。

半直積の群についてですが、この種の群の生成元はかなり簡潔に書ける場合があります。

前にも書いたことがありますが、2つの群の半直積を構成するには、一方の群から、もう一方の群の自己同型群への準同型写像を与えればよいわけです。この準同型写像が簡単に記述できるものであればあるほど、簡潔に書ける可能性があります。もっとも、常に単位元に写る、自明な準同型写像では、直積になってしまうわけですが。

端的な例が C5 : C4 で、C5の自己同型群自体ももC4になっているため、与えるべき準同型写像自体を同型写像にすることができます。これが (1) の方で、ごく簡潔に書けます。準同型写像としては別の可能性もあり、こちらは (2) で、いくらか長いです。

(まだまだまだまだ続きます。ご想像の通り、「まだ」はこのタイトルで続ける間、増えていきます。意味はありませんが)。

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