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2009年6月22日 (月)

最短の置換表現について考える(3)

さて、全体としてアーベル群であることが分かれば割と話は簡単で、巡回群の直積なのですから、たとえば Cl x Cm x Cn であれば、

g:=Group((1,...,l), (l+1,...,l+m), (l+m+1,...,l+m+n));

が希望する最短の置換表現であると考えてよいでしょう。ただ、C12 などは C4 x C3 に置き換えておく必要があります。

(まだまだ続く)

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コメント

最短の置換表現について考えてみました。
この表現が推移的だとすると、ある1点の
固定群G1を考えると、G/G1 に対する左作用
が元の置換表現と同値になります。ですので
任意の部分群Hに対して、G/Hを調べると全部
わかるのですが、そのうち忠実なものは
∩x^{-1}Hx = 1 (ここにxはすべてのGの
元を走る)となるものです。そこでなるべく
大きな位数のHで、この条件を満たすものが
この場合の最短の置換表現になりそうです。
GAPだと部分群をすべて求めたり、上記の
条件のチェックがプログラムできると
いいのですが...
ただ、推移的ではない場合はどうしたものか
... C12の例はまさにその場合で、2つの
推移的だが忠実でない置換表現の核の共通
部分が1になっていて全体として忠実になる
ということになっています。推移的な置換
表現の核をすべて調べて、その共通が1に
なる組み合わせを探すというのも大変そう
ですが...

 

投稿: kazu_FGF | 2009年6月22日 (月) 17時57分

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