半直積とは

位数18まで追加しました。

さて、半直積について説明しておかなければならないと思うのですが、少し面倒です。

まず、直積についてですが、N, H,を群、n1, n2, h1, h2をそれらの元とするときに、(n1, h1)・(n2, h2)=(n1n2, h1h2)と素直に定義すれば、これはちゃんと群になります。これをNとHの直積と言い、N x Hのように書きます。

しかし、Hから、Nの自己同型群に対しての準同型写像が存在する場合には別の構成が可能になります。h1からの準同型写像によるNの自己同型によるn2の像をh1(n2)としたときに、(n1, h1)・(n2, h2)=(n1h1(n2), h1h2)と定義すれば、これも群となります。これをNとHの半直積と言い、N : Hと書きます（とってもややこしい）。

これが群の定義を満たすこと（特に結合法則）は、自分で確かめてみてください。

疲れる...。