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2009年5月31日 (日)

また少し修正

(C4 x C2) : C2の生成元を、関係式と対応するように修正しました。

生成元は、いろいろいじっているうちに偶然に見つかったものをそのまま記述している場合が多いので、必ずしも関係式と対応していないことがよくあります。なるべく直していきます。

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2009年5月30日 (土)

今日はちょっと修正

Q16の関係式が間違っていたのを直しました。
あと2つほど、関係式が冗長だったのを簡略化しました。

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2009年5月29日 (金)

関係式を再確認

1つ追加しました。

で、ちょっと気がついたのですが、関係式の中に不必要に複雑なものが入っていました。生成元のうち互換なものに注意すれば、もっと短くできるものがありそうです。ちょっとチェック。

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2009年5月28日 (木)

ひとやすみ

昨日はいろいろ忙しくて用意ができなかったので、今日の追加はなしです。

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2009年5月27日 (水)

関係式について

1件追加しました。

関係式についても、よくわからないところがいろいろあります。自然に出てくるもの、簡潔なものもあれば、どうしてこういう関係になるのか、見当のつかないものもあります。やはり、難しい。

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2009年5月26日 (火)

非分解拡大の群

今日追加したのは、単なる半直積ではなく、非分解拡大によって構成されている群です(この書き方が正しい用法なのか、あまり自信がないです)。

これは生成元をいろいろいじっていたら、偶然できたもので、内容もよくわかっていません。関係式もすごくややこしいですし。

できれば因子団(の例)も記述したいところなのですが、もっとよくわかったら追記します。

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2009年5月25日 (月)

昨日はタイトルがだぶっておりました

失礼しました。

位数32に1つ追加しました。

置換表現の長さのことはいろいろ考えているのですが、難しいです。S3とかD8は比較的短く書けるのですが、Q8は急に長くなります。今のところもっと短い表現は思いつきませんし、存在しないのかもしれません。

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2009年5月24日 (日)

最短の置換表現

についていろいろ考えています。

たとえば、C6は普通に考えればGroup((1,2,3,4,5,6))なのですが、Group((1,2,3),(4,5))でもいいわけで、ひとまずこちらの方が短いと考えてよいでしょう。C12とかだともっと差がつきます。奥が深そうです。

本日の更新は、データを間違えていた(C8 x C2) : C2の差し替えだけです。

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2009年5月23日 (土)

最短の置換表現

位数32にまた追加しました。

ところで、生成元のところに複数記述している群がいくつかあります。長さもいろいろ違います。短いものはたいてい、偶然見つかったものなのですが、どうしてそれでうまく記述できるのか、自分でもわかっていません。

短い置換表現、特に最短の置換表現を系統的に求める方法があるのでしょうか?

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2009年5月22日 (金)

ちょっと順番変更しました

位数32の有限群も、出てきている順序にアップするつもりだったのですが、関係式のデータが揃っていないことに気がついたので、C8 : C4 (2)を先にアップしました。

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2009年5月21日 (木)

O2のデータ、発掘

しました。すっかり忘れていました。そのうちアップしなければ。

有限群も1つ追加しました。

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2009年5月20日 (水)

こういうことをしていて、なんの役に立つのか

と問われれば、特に役に立つわけでもないでしょうと答えざるを得ませんね。

もっとも、「量子化学のおもちゃ箱」自体も、面白い画像ができたのほかの人にも見てもらいたい、ということから始まりました。有限群の構成も、いろいろやってみて、うまく構成できた時はうれしいので、単にそれをどこかで公開しておきたいというだけのことなのかもしれません。

C8 : C4を追加しました。これはまた別の構成が2つあります。

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2009年5月19日 (火)

指標表の話(9)

ついに位数32に入ってしまいました。しばらくかかりますね。

指標表にはもう一つの直交関係があります。ただ、これは各共役類の元の数がわからないと示せません。

例によってS3だと、共役類の元の数は1a、2a、3aがそれぞれ1,3,2になっています。

そして、指標の各行X1、X2、X3はそれぞれ(1,-1,2)、(2,0,-1)、(1,1,1)ですが、各セルの値の積と、さらにに共役類の元の数の積を取って合計すると、やはりどれも0になります。

たとえば、X1とX2だと、1*2*1+(-1)*0*3+1*(-1)*2=2+0-2=0になります。

説明がうまくなくて、わかりにくいかなぁ。

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2009年5月18日 (月)

指標表の話(8)

位数28を追加しました。

指標表のまた別の性質ですが、各表現の次数(具体的に言うと、共役類1aの列の指標の値)の2乗を合計すると、その群の位数になります。

S3の場合だと、1^2 + 2~2 + 1^2 = 1 + 4 + 1 = 6になっています。

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2009年5月17日 (日)

指標表の話(7)

C9 : C3を追加しました。

指標表の別の顕著な特徴としては、共役類ごとの列をベクトルとして見たときに、たがいに直交しているということです。

またS3の場合を例に取ると、1aが(1,2,1)、2aが(-1,0,1)、3aが(1,-1,1)となって直交しています。

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2009年5月16日 (土)

指標表の話(6)

位数27に入りました。

ところで指標表というのは、群の表現に対する指標を集めたものですが、正確に言うと、その中でも既約表現だけをすべて集めたものになっています。

表現というのはいろいろあり得るのですが、他の表現の直和に分解できるものを可約表現と言い、分解できないものを既約表現と言います。

そして、既約表現を集めた指標表を見ると、いろいろと面白い性質があることがわかるのですが、すぐ見てわかりそうなものは、「既約表現の数と共役類の数は同じ」(S3はどちらも3つ)ということです。

よく見ると他にも興味深い性質がありますが、またあとで書くことにします。

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2009年5月15日 (金)

指標表の話(5)

位数24は完成しました。ついでに位数25,26も追加しました(中身がないですが)。

さて、S3の2次の表現行列を考えます(X.2のところ)。

具体的な例としては、1aは[[1,0],[0,1]]、2aは[[1,0],[0,-1]]、3aは[[-1/2,SQRT(3)/2],[-SQRT(3)/2,-1/2]]などが考えられます。もちろん、2aや3aにはほかの元もあるのでそれらの表現行列はまた違います。

それにそもそも、この表現行列は一意には決まりません。表現行列をXとした場合、適当な(行列式が0でない行列)Aによって、A^-1*X*Aを作ると、これも表現行列になるからです(この場合、すべての表現行列を一括して変換するという意味です)。

それでも、実は、同じ共役類に属する元の表現行列の対角要素の和は常に一定になるという性質があります(たとえ上記の方法で変換したとしても)。

上のS3の例で言うと、1aは1+1=2、2aは1+(-1)=0、3aは(-1/2)+(-1/2)=-1になります。

これを(その表現の)指標と言います。

あらためて、S3の指標表のX.2の列と比較して、一致していることを確認してみてください。ただし、指標表では0は「.」と記されています。

この指標表を眺めながら、具体的にどんな表現があり得るか考えてみるのは、なかなか楽しい頭の体操です。

ここでクイズを出してみましょう。

位数8の群Q8、表現X.5の4a、4b、4cの具体的な行列としてはどのようなものがあり得るでしょうか。

こういう問題に関心のある方は、コメントとして付けてみてください。ただし、正解でも特に景品は出ません。あしからず。

ヒントですが、行列要素は実数とは限りません(いろいろな指標表の下の注記を見ればわかりますね)。

解答例は、また後日ということで。

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2009年5月14日 (木)

指標表の話(4)

(C6 x C2) : C2を追加しました。

さて、指標表の2行目、3行目などに2P, 3Pで始まる行があります。

これはわりと簡単に想像がつくと思うのですが、その共役類に属する元を2乗、3乗した場合に、どの共役類の元に移るかを示しています。たとえば、2aと2Pの交わるところのセルは、1aになっています(位数2の元を2乗すれば単位元になるからです)。

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2009年5月13日 (水)

寝ぼけていたみたい

投稿は1日1本と決めていたのに、日付が変わる前に投稿してしまいました。寝ぼけていたみたいです。

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2009年5月12日 (火)

指標表の話(3)

C3 : Q8を追加しました。

さて、指標表の一番上の行を見ると、1aとか2bとかになっています。これは、その共役類に属する元の位数を示しています。

「位数」と言っても、群の元の個数を意味する位数とは少し違います。こちらは、その元を何乗すると1(単位元)になるかを表す数です。2aの共役類に属する元は、2乗すると単位元になります。同じ位数の共役類が複数ある場合には、2aとか2bとかのアルファベットで区別します。ちなみに、1aというのは、単位元だけが属する共役類です。

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指標表の話(2)

SL(2,3)を追加しました。

さて、指標表の縦の列は、共役類ごとに分かれています。

共役類というのは群の中のある共通した性質を持つ元の集まりです。群の元aを1つ取り、群のまた適当な元xによって、x^(-1)*a*x=bとなったとき、aとbは同じ共役類に属していることになります。

簡単な例で言うと、S3は正三角形を回転と折り返しによって元の三角形に重ねる操作の集まりとみなすことができるのですが、(1,2,3)と(1,3,2)は右回りと左回りの回転でひとつの共役類になり、(1,2)、(1,3)、(2,3)は各頂点を通る折り返しでまた別のひとつの共役類になります。

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2009年5月11日 (月)

指標表の話(1)

位数24に入りました。

さて、指標表のことも少し説明しておかなければと思っています。わかる人にはわかるのでしょうが。

指標を説明するためには、まず、表現という概念を説明する必要があります。表現にもいろいろありますが、ここでは群の線形表現に限ります。

ここでいう表現とは、群の間の演算の関係を保つように、群を行列に対応させることです(群から行列への準同型写像)。

ただ、行列と言っても1行1列でもよく(1aの列が1になっているものがそうです)、おまけにすべてが(1)という行列でも構わないわけです(一般にX.1の行のところがそうです)。1 x 1 = 1というのは常に成立するわけですから。

もちろん、群の構造をよく表しているのは、2行2列以上の行列です。

で、話はまだ続きます。

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2009年5月10日 (日)

具体的な話の続き

C3 : C4の生成元はg:=Group((1,2,3)(6,5,4)(7,8,9)(12,11,10),(1,4,7,10)(2,5,8,11)(3,6,9,12));となっていて、a:=(1,2,3)(6,5,4)(7,8,9)(12,11,10), b:=(1,4,7,10)(2,5,8,11)(3,6,9,12)ということになります。

もしこれがa:=(1,2,3)(4,5,6)(7,8,9)(10,11,12);だったら、単にC3 x C4 になります。

ためしにb^-1*a*bでの1の行き先を考えてみると、

b^-1で1→10
aで10→12
bで12→3

全体として1→3と移ったことになり、aを逆向きに回った(a^-1)になって、関係式

b^-1*a*b=a^-1を満たします。

こんなふうに、すべての番号について関係式の条件を満たすように生成元を定義してみて、StructureDescription(g) (ct=CharacterTable(g)も)を使用し、希望した群になっているかどうか確かめてみて、うまくいっているようだったら成功というわけです。

これは割と単純な例なのですが、一筋縄でいかないものも結構あります。

それにしても、やっぱりわかりにくい?

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2009年5月 9日 (土)

3000ヒット御礼:少し具体的な話

昨日、3000ヒットに達しました。実にマイナーなサイトを見に来てくださったみなさん、本当にありがとうございます。

昨日半直積の話を書いたので、一つ具体例をあげてみることにします。C3 : C4にします。

C3は(e, a, a^2)、C4は(e, b, b^2, b^3)と記述できます。C3の自己同型群は全く変化なしのもの(idとします)と、a←→a^2(rとします)の2つの元からなります。これは群C2(id, r)とみなせます。これでe→id, b→r, b^2→id, b^3→rとすれば、C4からC2(C3の自己同型群)への準同型写像になります。これを置換でうまく表現できれば、C3 : C4が構成できたことになります。

やっぱりわかりにくいかな。

で、置換でどうやって構成するかは、また後日ということで。

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2009年5月 8日 (金)

半直積とは

位数18まで追加しました。

さて、半直積について説明しておかなければならないと思うのですが、少し面倒です。

まず、直積についてですが、N, H,を群、n1, n2, h1, h2をそれらの元とするときに、(n1, h1)・(n2, h2)=(n1n2, h1h2)と素直に定義すれば、これはちゃんと群になります。これをNとHの直積と言い、N x Hのように書きます。

しかし、Hから、Nの自己同型群に対しての準同型写像が存在する場合には別の構成が可能になります。h1からの準同型写像によるNの自己同型によるn2の像をh1(n2)としたときに、(n1, h1)・(n2, h2)=(n1h1(n2), h1h2)と定義すれば、これも群となります。これをNとHの半直積と言い、N : Hと書きます(とってもややこしい)。

これが群の定義を満たすこと(特に結合法則)は、自分で確かめてみてください。

疲れる...。

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2009年5月 7日 (木)

位数16は完成

しました。

ところで、GAPを使用できる環境の方向けの説明です。

生成元は

g:=Group((1,2,3),(1,2));

とそのまま入力すれば、群を構成できます。

関係式の方は、ちょっと面倒です。たとえば、関係式が

a^3=1, b^2=1, b^-1*a*b=^a-1

などとなっている場合には、まず

f:=FreeGroup("a","b");
a:=f.1;
b:=f.2;

などと入力した上で、関係式を(左辺)=1(つまり単位元)の形に変形して、

rel:=[a^3,b^2,b^-1*a*b*a];

と定義して、

g:=f/rel;

とすると、群が構成できます。

あとは、

Size(g);(群の位数を求める)

とか、

ccl:=ConjugacyClasses(g);(共役類を求める)

などとして、いろいろ試してみてください。

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2009年5月 6日 (水)

どうやって作っているのか

位数16に1つ追加しました。

さて、各位数の群のリストの求め方ですが、GAP(数学用ソフトウェア)にかなり依存しています。ちなみに、私が使用しているのは、Windows Vista上のVMWare上のDebian Lenny上のGAPです(ややこしい)。

具体的には、こんなことをしています。

gap> ll:=AllSmallGroups(16);(位数16のすべての群のリストを求める)。

gap> List(ll,StructureDescription);(リストの群の表示名を求める)。

そして、Cn、Dn、小さな群の直積はパスして、半直積の群を構成してみる。これは手作業。

関係式を求めるのも手作業。

gap> StructureDescription(g);とかで、希望した群になっているか確認する。

gap> ct:=CharacterTable(g);
gap> Display(ct);

で、指標表を求める。などしています。

ところで、半直積というのは、わかる人はわかるでしょうが、一応説明しておかなければならないでしょう。それはまた後日ということで。

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2009年5月 5日 (火)

なぜCnやDnの記述はないのか

位数16にいくつか追加しました。

さて、「有限群いろいろ」でも、すべての群に記述を付けているわけではありません。CnとかDnとかですが、少し説明しておきます。

Cn: 巡回群。生成元は(1,2,...n)、関係式はa^n=1。
D2n: 二面体群。生成元は(1,2,...n)、(2,n)(3,n-1)...。関係式はa^n=1、b^2=1、b^(-1)ab=a^(-1)。

というような系列に属するものなので、あえていちいち記述するまでもないか、と思っているわけです。

あと、より小さな群の直積になっているもの(Cm x Cnなど)も、自明な感じがするので、記述していません。というわけで、記述しているのはそれ以外の、半直積や非分離拡大の群、SnやAn、リー型の群になっています。

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2009年5月 4日 (月)

位数16に1つ追加

しました。位数16にはさらに追加することになります。

ところで、なぜ量子化学から有限群論に興味を移したかということは、わかる人にはわかると思います。

実際、対称性の高い分子の量子化学的計算と、群論には切っても切れない関係があります。

たとえば、分子の電子軌道や振動は、分子の対称性を表す群(点群ということでいいのかな)の表現になっています。

それから、電子軌道や分子振動には特に説明を加えずににa1とかt2とか記していましたが、これらは点群の表現の種類を表す記号になっています。

量子化学そのもののネタ(ベンゼンの電子軌道とか、シクロブタンの振動とか)もまだまだあるのですが、仕込みに手間がかかるので、これらはまた機会があればということにしたいと思います。

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2009年5月 3日 (日)

久々に更新、ですが

量子化学とは直接関係はないです(全くないわけでもないですが)。

兄弟ページとして、「有限群いろいろ」を作りました。

眺めて楽しむものとは違いますが、興味があればのぞいてみてください。

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