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2009年5月15日 (金)

指標表の話(5)

位数24は完成しました。ついでに位数25,26も追加しました(中身がないですが)。

さて、S3の2次の表現行列を考えます(X.2のところ)。

具体的な例としては、1aは[[1,0],[0,1]]、2aは[[1,0],[0,-1]]、3aは[[-1/2,SQRT(3)/2],[-SQRT(3)/2,-1/2]]などが考えられます。もちろん、2aや3aにはほかの元もあるのでそれらの表現行列はまた違います。

それにそもそも、この表現行列は一意には決まりません。表現行列をXとした場合、適当な(行列式が0でない行列)Aによって、A^-1*X*Aを作ると、これも表現行列になるからです(この場合、すべての表現行列を一括して変換するという意味です)。

それでも、実は、同じ共役類に属する元の表現行列の対角要素の和は常に一定になるという性質があります(たとえ上記の方法で変換したとしても)。

上のS3の例で言うと、1aは1+1=2、2aは1+(-1)=0、3aは(-1/2)+(-1/2)=-1になります。

これを(その表現の)指標と言います。

あらためて、S3の指標表のX.2の列と比較して、一致していることを確認してみてください。ただし、指標表では0は「.」と記されています。

この指標表を眺めながら、具体的にどんな表現があり得るか考えてみるのは、なかなか楽しい頭の体操です。

ここでクイズを出してみましょう。

位数8の群Q8、表現X.5の4a、4b、4cの具体的な行列としてはどのようなものがあり得るでしょうか。

こういう問題に関心のある方は、コメントとして付けてみてください。ただし、正解でも特に景品は出ません。あしからず。

ヒントですが、行列要素は実数とは限りません(いろいろな指標表の下の注記を見ればわかりますね)。

解答例は、また後日ということで。

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