Maximaによるリーマン幾何学の計算(3)

一般相対論のシュバルツシルトシルト解に対応する4次元の計算式ファイル（4Dspace1.mac）をアップしました。

計算方法は、ディラックの本、「一般相対性理論」に基づいています。ただし、ギリシャ文字の引数はθをth、φをphとしました。ついでに、rはr_4と混同されるのが心配だったので（大丈夫そうな気もしますが）、arに変えてあります。

多分合っているとは思うのですが、表記法の関係でまったく同じにはならないので、ちょっと自信がありません。上記のディラックの本をお持ちの方は、r_2[i,j,k,l](t,ar,th,ph)を出力して、71～72ページ（ちくま学芸文庫版）の結果と比較してみてください。

（ちなみに、こういうことを始めたのは、Amazonでなぜか上記のディラックの本がおすすめになっていて、購入してみたからです。何の本を買ったのでこれがおすすめになったのかわかりませんが...）。

それから、球面（2Dspace1.mac）でのr(x,y)は2、双曲平面'（2Dspace3.mac）でのr(x,y)は-2になって、x,yに依存しない一定値になることがわかります。

計算式ファイルの中のratsimp関数は、有理式の簡約を行うものです。興味のある方は、これを全部削除して（テキストエディタで一括置換するとか）、r(x,y)を出力してみてください。仰天するほど複雑な式が出てきます。これが簡約で全部消えてしまうとは、ちょっと信じられない気がします。

Maximaによるリーマン幾何学の計算(2)

ファイルの基本的な使用方法は、昨日の記事のコメントに書きましたので、そちらをご覧ください。

あとは、各ファイルを読み込めば、いろいろな値を表示して確認できます。また、*macファイルは通常のテキストファイルなので、普通のエディタで書き換えて実験できます。特に、2Dspace1.macでは、

z(x,y):=(1-x^2-y^2)^(1/2);

で単位球面の上半分を定義しているので、ここを書き換えれば、他の曲面での結果を試せます。ただ、ちょっと書き換えただけで、超複雑な結果になって、ぎょっとするかもしれません。

それから、テンソルなどはすべて配列を使用しています。テンソルパッケージも存在するのですが、まだよく理解していないので使用していません。興味のある方は、ぽんぽこ様訳のMaximaのマニュアルを見て、書き直してみてください。

量子化学とは関係ない話：Maximaによるリーマン幾何学の計算(1)

なんだか最近更新がないと思っておられた方、すみません。こんなことをやっていました。

数式処理システムMaximaによるリーマン幾何学の計算です。

Maximaの使用方法に詳しい方は、とりあえず、計算式ファイルをダウンロードしてみてください。トップページの一番下の「おまけ」の下のリンクから入れます。

内容は見ればわかる...って、そんなわけには行かないですね。一応、変数の定義だけ書いておきます。

g_2[i,j,]: 計量、下つき添字
g2[i,j]: 計量、上つき添字
g_2d[i,j,jk]: g_2を偏微分したもの
gam_3[i,j,k], gam1_2[i,j,k]: クリストッフェル記号
r1_3[i,j,k,l], r_4[i,j,k,l]: 曲率テンソル
r_2[i,j]: リッチ・テンソル
r: スカラー曲率

です。多分見てわかると思いますが、1_3とかは上つき添字が1つ、下つき添字が3つということを意味しています。

今のところ、対象は2次元で、球面と双曲平面です。

2Dspace1.macの場合、スカラー曲率を表示するには、Maximaで計算式ファイルをロードしてから、

r(x,y);

と入力してみてください。

リッチ・テンソルの(0,0)成分の場合には、

r[0,0](x,y);

とします。まとめて表示したい場合には、

for i:0 thru 1 do for j:0 thru 1 do
ldisplay(r[i,j](x,y));

などとします。

...いくら書いても説明し足りないような気がしてきましたが、必要そうなことは、おいおい記事に追加していきます。

それから、Maximaの入手先は、以下の通りです。

http://maxima.sourceforge.net/

質問がありましたら、ここにコメントとして付けてください。

ではまた。

キュバンのjpegを追加

キュバンの分子軌道のレイトレーシング画像（jpeg）を追加しました。

1000ヒット御礼

連休中に、1000ヒットを越えました。

こんなマイナーなサイトなのに、見に来てくれる方々がいることに感謝です。

さらにコンテンツを充実させていければと思っています。