ちょっと追加

位数32にちょっと追加しました。

C4.D8の因子団（の一例）は、うまく求まったようです。次は(C2 x C2) . (C4 x C2)をチェックしてみます。

GAPのインストールなど

昨日、「Windows版のGAPではStructureDescriptionが動作しない」と書きましたが、改めてチェックしてみたところ、最新版（4r4p12）では動作することを確認しました（以前ダウンロードしていた4r4p3では確かに動作しませんでした）。

ついでですので、GAPのインストールについて書きます。

Windows版としてはzipファイルが用意されているので、それをダウンロードして展開すればいいでしょう。展開して出てきたフォルダはC:のルートに置いてください。これは、実行ファイルを起動するためのバッチファイルがそのことを想定しているためです。

これらのバッチファイルは、全体のフォルダの中のbinフォルダ内にあります。いくつかありますが、少しずつ動作環境が違うようです。とりあえずgap.batでいいと思うのですが、他のバッチファイルも試してみるといいでしょう。

Debian Linuxではパッケージが用意されているので、インストールはもっと楽です。まず、

# apt-cache search gap

でgap関連のパッケージに何があるか確認し、必要と思うものを

# apt-get install gap

などどしてインストールします。実行はターミナルから

$ gap

です。

なお、C4.D8の因子団のチェックは、だんだん妥当と思われる結果に近づいてきましたが、まだ完全にチェックを通ってはいません。

追記

前の記事を書いてみてから、ページの方を確認してみたら、(C8 x C2) : C2 の(4) をアップし忘れていました。今アップしました。

現在の環境

位数32に1つ追加しました。

C4.D8の因子団のチェックは、まだうまくいきません。何か勘違いしているのかも。

今日は、現在の環境についてちょっと書きます。

メインのOSはVistaなのですが、その上でVMWareを動かし、Debian Lennyを動作させて、GAPを使用しています。

GAP自体はWindows版もあるわけですが、以前試したときに一部の機能（StructureDescriptionなど）がうまく動作しなかったので、試してみてうまくいった、Linux版の方に移りました。もっとも、Windows版も十分使い込んだわけでなないので、私の勘違いかもしれません。

VMWareではLinuxのいくつかのディストリビューション（Fedora、Vine、Gentooなど）を試してみていましたが、現在使用しているのはほぼDebianのみです。これは、GeomViewの存在が大きいです（Fedoraにもありました）。

GeomView自体はGAPとは関係ありませんが、Maximaと組み合わせると、計算結果をかなりきれいな3Dグラフィックで表示できたりします。

以前、これでもって水素原子の波動関数の断面を3Dグラフ化したものを作ったりしていました。公開したい気持ちもあるのですが、ファイルサイズが大きいので、ちょっと迷っています。

因子団のチェック中

C4.D8 に関して求められた因子団のチェックを行っています。

正しければ、ある等式を満たすはずなのですが、パラメータの関係で実質512通りのチェックを行わなければならず、やはりGAPのプログラムを書いて実行してみました。

まだ、ちゃんとした結果が出ていないのですが、書いてみたGAPのプログラムに間違いが見つかったので、修正中です。もう少し時間がかかりそうです。

GAPでプログラム

C4.D8と、関連する群の乗積表を GAP のプログラムにより作ってみました。

手計算でのものも間違っていないことを確認できました。その後の解釈に問題があるようです。

ついでながら、使ったプログラムを載せておきます。

%
% generators for C4.D8
%

a:=(1,2,3,4,5,6,7,8)(9,10,11,12,13,14,15,16)(17,18,19,20,21,22,23,24)(25,26,27,28,29,30,31,32);
b:=(1,9,17,25,5,13,21,29)(2,16,18,32,6,12,22,28)(3,15,19,31,7,11,23,27)(4,14,20,30,8,10,24,26);

%
% prepare a list that contains elements of the group
%

ij:=[1..32];

for j in [0..3] do
for i in [0..7] do
ij[8*j+i+1]:=a^i*b^j;
od;
od;

%
% a function for table lookup
%

f:=function(xy)
local r;
r:=0;
for n in [1..32] do
if ij[n]=xy then r:=n;
else;
fi;
od;
return r;
end;

%
% make the product table
%

x:=();
y:=();
xy:=();

for j in [1..32] do
x:=ij[j];
for i in [1..32] do
y:=ij[i];
Print(f(x*y),"\t");
od;
Print("\n");
od;

%
% end of the program
%

分解しない拡大の例をチェック中

Q8はとりあえずうまくいったようなので、もっと大きい例、C4.D8 とかをチェックしてみていたのですが、うまくいきません。

乗積表を手計算で出していたので、どこかでミスがあったのかも。

GAPのプログラム機能をもっと十分に活用しないといけないかもしれません。

途中で、C4.D8 のもっと簡潔な関係式を見つけました。後で直しておきます。

分解しない拡大の構成方法について

Q8が分解しない拡大の例となっているようだということは、昨日書きました。

今、拡大を構成する群が与えられたときに、その置換による生成元をどのように構成できるかを考えています。

具体的に言うと、(C2 x C2) . (C2 x C2 x C2) なのですが、位数32の群については、これ以外はすべて、置換による生成元は得られています。ただ、Q32 とかは別として、他に2つ、分解しない拡大もあるのですが、これらの生成元は、偶然見つかったものです。まだ系統的に構成する方法がよくわかりません。

結構難しいような気もします。

有限群の図形的な表現(2)

あと、わかりやすいものとしては、対称群Snと交代群Anがあります。もっとも、わかりやすいと言っても、n個の点がすべて相互に等距離に配置された図形を考えることになり、次元の高いユークリッド空間 (n-1次元とか) でないと収まらないので、ちょっと想像しにくいかもしれません。

ともかく、A4は正4面体の回転操作、S4はそれに鏡映操作を加えたものとして表現することができます。

さらに、A5については、正12面体の回転操作として理解することができます。ただ、どのような対応関係になっているのかは多少わかりにくくなっています。

ところで、話は変わります。Q8はC4とC2の単なる直積や半直積になっているわけではないので、もしかしたら分解しない拡大の小さな位数での例になっているのではと気がつき、乗積表をチェックしてみたところ、確かにそう解釈できそうだと思えてきました。このことを、因子団も含めてわかりやすく例証する方法がないか、考えているところです。

でもこれ、私が気がつかなかっただけで、自明なことだったんでしょうか。

有限群の図形的な表現(1)

有限群の図形的な表現について、しばらく考えてみようと思います。

まず思いつくのは巡回群で、Cnは正n角形の回転とみなすことができます。
次に二面体群D2nは、やはり正n角形なのですが、裏返す操作が入ります。
これらの直積については、独立した正多角形をいくつか用意して、独立して操作できる状況を想像すればよいでしょう。

ところで、D2nは半直積の一種なので、（Cn : C2に相当）、一般の半直積についても似たようなことを考えられないわけでなないのですが、あまり直感的な表現にはなりません。

次回はちょっと違う種類のものを考えてみたいと思います。